생일이 같을 확률

 확률로 계산해보는 인연

 

새 학기가 되면 교실 게시판에 학생들의 생일을 적어놓는데, 신기하게도 생일이 같은 사람이 꽤 많다. 1년은 365일이나 되니 366명 정도는 모여야 한쌍 정도가 생일이 같지 않을까 싶은데, 어째서 그럴까?

 

먼저 축구 경기를 가정해보자.

축구장에는 선수가 22명, 주심 1명, 선심 2명 등 모두 25명이 같이 뛰게 된다.

한 경기마다 생일이 같은 사람이 섞여 있을 가능성은 얼마나 될까? 무턱대고 확률을 계산하면 머리가 아파진다.

 

2명의 생일이 같아도 되고 3명, 4명의 생일이 같아도 되며, 심지어 생일이 같은 사람이 여러쌍 있어도 되므로 경우의 수가 너무 많아진다.

이럴 땐 반대로 생일이 모두 다를 경우를 생각하면 훨씬 쉽다.

먼저 2명이 있을 때, 첫 번째 사람의 생일이 5월5일이라면, 다른 한명의 생일은 365일 중에서 이날을 제외한 364일 중 어느 날이어야 한다.

 

따라서, 2명의 생일이 다를 확률은 364/365이다.

3명의 생일이 모두 다를 확률은 얼마나 될까? 세 번째 사람의 생일은 앞의 두 명의 생일과 달라야 한다.

따라서, 1년 중 이틀을 제외한 363일 중 어느 한 날이 생일이어야 한다.

또, 3명의 생일이 모두 달라야 하므로 364/365 × 363/365이 된다.

 

이렇게 계속 계산하면 25명의 생일이 모두 다를 확률은 계산기를 이용해 다음과 같이 구할 수 있다.

364/365 × 363/365 × 362/365 × 361/365× … × 341/365 ≒ 0.43

따라서 25명의 선수 중 생일이 같은 선수가 한쌍이라도 섞여 뛰게 될 확률은 약 0.57(=1-0.43)정도이다.

즉, 10번의 축구 경기가 있을 때 5.7경기, 약 6경기 정도는 생일이 같은 사람이 뛰고 있을 가능성이 있는 셈이다.

 

이 정도면 굉장히 흔한 일 아닐까?

여러분이 어떤 모임에서 같은 생일의 사람을 만날 확률은 얼마일까? 계산기를 두드리다 보면 혹 인연의 깊이도 수학으로 가늠해 볼 수 있을지 모른다.

 

한 반의 구성원이 30명인 경우 생일이 같은 사람이 있을 확률을 구해보자.

1 - 364/365 × 363/365 × 362/365 × 361/365 × … × 336/365 ≒0.7(70%)

10반 중 7반에는 생일이 같은 사람이 있을 가능성이 있는 것이다.